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同样，如果我抛掷钱币2000 次，出正面的次数是999 次，而出反面的次
数是1001，我就可以把出正面的机会看成一半。但是我用这句话所表示的精
确意思到底是什么？
这个问题显示出莱新巴哈定义的力量。按照他的说法，我所表示的意思
① 参看杰弗雷著《概率论》和《科学推论》。
是：如果我相当长久地继续做下去，出正面的比例迟早将达到总在接近1/2
左右；事实上，它与1/2 之差将小于任何不管怎样小的分数。这是一个预言；
如果预言正确，我的概率估计就正确，如果预言不正确，我的概率估计也不
正确。有限频率说能够用什么理由来反对这一点呢？
我们必须把概率是多少与概率可能是多少区别开来。关于概率是多少的
问题，这要决定于我们正在研究的抛掷的类。如果我们是在研究抛掷一个特
指的钱币，那么如果在钱币的整个存在期间，这个钱币在全部n 次抛掷当中
将出m 次正面，则该钱币出正面的概率就是m/n。如果我们是在研究一般的
钱币，那么n 就将是在世界历史的全部过去和将来中抛掷钱币的总数而m 就
将是抛掷钱币将出正面的数目。为了不让问题的范围铺得太大，我们可以只
研究本年内英格兰抛掷钱币的数目，或者只研究从事概率研究的人所列出的
抛掷钱币的数目。在所有这些实例中，m 和n 是有限数，而m/n。是在这些已
知条件下出正面的概率。
但是上面所说的概率没有一种是已知的。我们因此必须对它们作出估
计，这就是说，找出某种确定它们大概是多少的方法。如果我们要坚持有限
频率说，这将表示我们的出正面和出反面的系列一定是某些有限类的系列之
一，并且我们必须具有关于整个这一类的有用知识。我们将假定人们已经观
察到在由某个特指的钱币的10， 000 次或更多次抛掷所组成的每一个系列
中，在第5000 次抛掷以后出正面的比例相差不会超过2ε，这里ε是很小的
数。然后我们就可以说：就每个观察到的实例来说，某个特指的钱币在第5000
次抛掷以后出正面的比例总在p—ε和p＋ε之间，这里P 是决定于钱币的一
个常数。从这个实例推论到一个尚未观察到的实例是归纳的问题。如果使这
个推论正确，我们将需要一个公理，即（在某些外界条件下）在所有观察到
的实例中出现的一个特点在所有实例的很大一部分中也将出现；或者我们至
少需要某个可以导出这种结论的公理。然后我们就能够从观察到的频率推论
出可能出现的概率，按照有限频率说来解释概率。
上面所说的只是一种理论的大意。根据我所主张的理论，我想强调的要
点是：每个概率叙述（与仅属可疑的陈述相对而言）都是关于一个系列中某
一部分的事实叙述。特别是不管归纳原则是真还是伪，它都要断言作为一件
事实来看，某些种类的大多数系列从始至终都具有一种特点，在这个系列的
大量连续的项目中都有这种特点出现。如果这是事实，归纳论证就可能产生
概率；如果不是事实，归纳论证就不能产生概率。我现在不是探讨我们怎样
知道它是否是一件事实；这是我要留到我们所从事的研究的最后部分来谈的
一个问题。
在上面的讨论中，我们将看到我们已经在许多论点上与莱新巴哈取得一
致的意见，同时却一直不同意他给概率所下的定义。我对于他的定义所抱的
主要反对意见是这个定义所依靠的频率是假言性质的和永远不能确定的。我
同他的分歧还在于我比他更明确地把概然性和可疑性区别开来，以及我认为
与必然逻辑相对待的概然逻辑从逻辑上讲并不是最基本的东西。
第五章凯恩斯的概率论
凯恩斯的《概率论》（1921）提出了从某种意义上讲与频率说正好相反
的一种理论。他主张演绎中所用的那种关系，即“P 蕴涵q”是一种也许可
以叫作“P 多少蕴涵q”的关系的极端形式。“如果关于h 的一种知识”，他
说，“证实一个具有a 程度的对于a 的合理信念，我们就说在a 和h 之间存
在着一种具有a 程度的概率关系”。我们把这种关系写成：“a/h＝a”。“在
两组命题之间存在着一种关系，凭借这种关系，如果我们知道了第一组命题，
我们就可以把某种程度的合理信念加给后一组命题”。概率基本上是一种关
系：“说‘b 是可能的’和说‘b 等于’或‘b 大于’是同样没有用处的”。
我们可以从“a”和“a 蕴涵b”得出“b”的结论；这就是说，我们可以完
全不谈前提而只肯定结论。但是如果a 对于b 的关系使得关于a 的一种知识
把对于b 的一种概然的信念变得合理化，我们就不能对于与a 无关的b 作出
任何结论；没有任何相当于证明推理中废除一个真的前提的东西。
按照凯恩斯的说法，概率是一种逻辑关系，这种关系也许只有用合理信
念的程度的说法才能得出定义。但是从总的方面看来，凯恩斯却倾向于用概
率关系的说法来给“合理信念的程度”下定义。他说合理的信念是从知识得
来的：我们对于p 有α程度的合理信念，这是因为我们知道某个命题h 并且
还知道p/h＝α。由此可以看出具有“p/h＝α”这种形式的某些命题一定在
我们的前提之内。我们的知识一部分是直接得到的，一部分是从论证得到的；
我们从论证得到的知识来自具有“p 蕴涵q”或“q/p＝α”这种形式的命题
的直接知识。在每一个经过充分分析的论证中，我们一定具有关于从前提到
结论的关系的直接知识，不管它是蕴涵关系还是某种程度的概率关系。关于
h 和p/h 的知识引出对于p 的一种“适当程度的合理信念”。凯恩斯明确地
假定一切直接的知识都是必然的，而够不上必然性的合理信念只有在我们觉
察到概率关系时才能发生。
按照凯恩斯的说法，一般说来概率是不能以数值来度量的；那些可以用
数值来度量的概率是概率中很特殊的一类。他认为一个概率与另外一个概率
可能不可以进行比较；换句话说，一个概率可能不大于也不小于，然而又不
等于另外一个概率。他甚至认为就已知证据来讲，有时不可能比较p 和非p
的概率。他的意思并不是说我们的知识不足以做到这一点；他的意思是说实
际上并不存在相等或不相等的关系。他是照下面的几何图式来想象概率的：
取两个点，分别代表不可能性的0 和必然性的1；然后我们就可以想象可以
用数值来度量的那些可能性位于0 与1 之间的直线上，而其它的概率则位于
从0 到1 之间的不同弯曲路线上。对于同一条路线上的两个概率，我们可以
说比较接近于1 的较大，但是我们对于在不同路线上的概率却不能进行比
较，除非两条路线相交，这种情况也是可能发生的。
象我们已经看到的那样，凯恩斯需要有关概率命题的直接知识。为了在
获得这类知识上做出一个起点，他考察并修正了一般所谓的“不充足理由原
理”或者按照他的说法“无差别原理”。
就其大意来讲，这个原理说如果没有已知理由选择几种可能当中一种而
不是另外一种可能，那么这些可能就是同样可能的。在这种说法下，象他所
指出的那样，这个原理产生矛盾。举例说，假定你一点也不知道某一本书的
颜色；那么它是蓝色或不是蓝色的机会相等，因而各是1/2。同样它是黑色
的机会也是1/2。所以它是蓝色或黑色的机会是1。由此可以得出凡书不是蓝
色就是黑色的结论，而这是荒谬的。或者假定我们知道某一个人不是居住在
大不列颠就是居住在爱尔兰；我们将把这些作为我们的可能选择，还是将把
英格兰、苏格兰和爱尔兰，或者将把每个郡看作具有同样可能的地方？或者
如果我们知道某种物质的比重介乎1 与3 之间，那么我们将把1 到2 和2 到
3 之间的间隔当作同样可能的比重吗？但是如果我们研究比容，那么1 到2/3
和2/3 到1/3 之间的间隔将是我们的自然的选择，这将使比重具有介乎1 和
3/2 之间或者3/2 和3 之间的相等机会。这类悻论可以无限地增多。
凯恩斯并没有因为这个理由而完全抛弃无差别原理；他认为我们可以这
样叙述这个原理，使它一方面避免上面所说的各种困难，一方面仍然有用。
为了这个目的，他首先给“无关”下定义。
大致说来，一个不改变概率的附加前提是“无关的”；这就是说，如果
x/h1h＝x/h,那么hi 对于x 和h 来说是无关的。例如，一个人的姓以M 开始
这件事实对于他的生死机会来说就是无关的。
可是上面的定义多少有些过于简单，因为h1 可能由两部分组成，其中一
部分增加X 的概率而另一部分却减少X 的概率。举例说，一个白种人生存的
机会由于居住在热带而减少，但是由于成为一个完全戒酒的人而增加了生存
的机会（或者人们是这样说的）。
